時定数とは？ 63.2% の意味を、タンクの液位で動かして見る

時定数は「最終的な変化の 63.2% に届くまでの時間」と習います。でも、なぜ 63.2% なのかは、式を眺めているだけではなかなか腑に落ちません。このページでは、底に弁が付いたタンクの液位を動かして確かめます。

シミュレータ

円筒のタンクに上から液が入り、底の弁（開度は固定）から出ていきます。最初は入る量と出る量が釣り合っていて、液位は一定です。入口の流量を変えてスタートすると、液位が新しい高さに向かって動きます。

まずは +20% でスタートして、液位の線が 63.2% の線を横切る時刻と、「進んだ割合」を見てください。

なぜ 63.2% なのか：残りの差が 1/e ずつ縮む

入口の流量を +20% にすると、液位は上がり始め、だんだんゆっくりになりながら新しい高さに近づいていきます。

ゆっくりになるのは、液位が上がると底にかかる圧力が上がり、弁から出ていく量が増えるからです。入る量と出る量の差（液位を押し上げている分）は、新しい高さに近づくほど小さくなります。つまり、残りの差が小さいほど、ゆっくり近づきます。

このように「残りの差に比例した速さで近づく」動き方を、一次遅れと呼びます。残りの差を x とすると、

dx/dt = −x / τ

この τ（タウ）が時定数です。解くと x = x₀ · e^−t/τ になり、残りの差は時間 τ ごとに 1/e（約 36.8%）に縮みます。

63.2% は、時間 τ のあいだに残りが 1/e に縮んだ結果です（1 − 1/e ≒ 0.632）。63.2% という数字を先に決めたのではなく、「残りの差 ÷ τ の速さで近づく」という τ の決め方から出てくる数字です。

シミュレータの「時間の推移」には、最終値と 63.2% の線を引いています。液位の線が 63.2% の線を横切る時刻が、時定数です。

ただ、このタンクの液位は、一次遅れとまったく同じには動きません。入口を −20% にすると、63.2% に届く時刻が +20% のときより早くなります。時定数が液位で変わるためで、続きは同じタンクなのに、時定数が液位で変わるのはなぜ？で動かして見られます。

作り手のメモ

仕事で、蒸留塔の動的シミュレーションを触ったことがあります。中で何が起きているかが頭の中で動いていなかったので、一番簡単なタンク1つから、やり直すことにしました。